ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

আমাদের ওয়েবসাইট “অর্ডিনেট আইটি.কম” ও চ্যানেল ”অর্ডিনেট ক্লাসরুম ”আপনাদের স্বাগতম ।
আমরা একটি ভিন্ন প্রজন্মের স্বপ্ন দেখি। আমরা অধিক চিন্তাশীল প্রজন্ম গড়তে চাই, আলাদা মানুষ যাদের আগে চিন্তা করার অভ্যাস থাকবে। আমরা মানুষ কেন? কারণ আমরা চিন্তা করি, এবং সেই চিন্তাকে মুক্তচিন্তা হতে হবে। আর মুখস্থ করে আর যা ই হোক, বিজ্ঞান শিক্ষা হতে পারে না। আর সেই প্রচেষ্টারই অংশ হল আমাদের কনটেন্ট ও ভিডিও লেকচার। এই কনটেন্ট ও ভিডিওগুলির উদ্দেশ্য হল প্রতিটি বিষয় এমনভাবে শেখানোর চেষ্টা করা যাতে আপনি বইয়ের বাইরেও অনেক কিছু ভাবতে পারেন। আর আপনি যখন চিন্তাশীল মানুষ হবেন, তখন আপনি নিজেই বুঝবেন এই দেশকে আলাদা করতে আমাদের কী করতে হবে, কতদূর যেতে হবে।

ষষ্ঠ অধ্যায়

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios)

ভূমিকা (Introduction) :

Trigonometry শব্দটি গ্রিক শব্দ Tri (অর্থ তিন) gon(অর্থ ধার) metron(অর্থ পরিমাপ) দ্বারা গঠিত।Sin শব্দটি Sinus শব্দ থেকে এসেছে । ত্রিকোণমিতি শব্দটির অর্থ ত্রিভুজের পরিমাপ। ত্রিকোণমিতির ইংরেজি প্রতিশব্দ হলো 'Trigonometry' যা তিনটি গ্রিক শব্দ যথা : Tri (Three),Gonia (angle) এবং Metron (Measure) থেকে উৎপন্ন। গণিত শাস্ত্রের যে শাখায় ত্রিভুজের তিনটি কোণ ও তিনটি বাহুর পরিমাপ এবং এসব সম্পর্কিত ধর্মাবলি আলোচনা করা হয় তাকে ত্রিকোণমিতি বলে। পিথাগোরাস দক্ষিণ ইতালিতে বাস করতেন। তিনি ছিলেন থেলস (Thales) এর ছাত্র এবং প্রথম সারির গণিতবিদ।

তিনি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সম্পর্কের ত্রিকোণমিতির সবগুলি অনুপাতের জন্য স্মরণীয়। ত্রিকোণমিতি সাধারণত দুইটি শাখায় বিভক্ত। এদের একটি হলো সমতলের উপর আঁকা ত্রিভুজ ভিত্তির সমতলীয় কোণমিতি (Plane Trigonometry) অপরটি হলো গোলকের উপর আঁকা ত্রিভুজ ভিত্তির গোলকীয় ত্রিকোণমিতি (Spherical Trigonometry)।

অসংজ্ঞায়িত ⇒মানে শূণ্য নয় শূন্যের কাছাকাছি।

Tricks⇒ক্যালকুলেটরে হিসাব না আসলে অসংজ্ঞায়িত হবে।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এর ব্যবহার (বাস্তব জীবনে প্রয়োগ ):

ইতিহাসের দিকে লক্ষ্য করলে দেখা যায় জ্যোতির্বিদ্যা, ভূবিদ্যার বিভিন্ন বিষয় সমাধান করতে গিয়েই ত্রিকোণমিতির উদ্ভব হয়েছে। কিন্তু শতবছর ধরে বিজ্ঞানীরা গণিতের বিভিন্ন শাখায় এবং আবিষ্কারের ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে চলেছেন। যেমন—

ক্যালকুলাস, যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম পরিসংখ্যান, সমুদ্রবিজ্ঞান মহাআকাশ বিজ্ঞান ইত্যাদি শাখায়
ত্রিকোণমিতির ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।
পর্বত কিংবা টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয়ে ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করা হয়।
নৌচালনা বিদ্যায় সমুদ্রের কোন নির্দিষ্ট বিন্দু হতে তীরের দূরত্ব নির্ণয়ে ত্রিকোণমিতি ব্যবহৃত হয়
ঢেউরের উচ্চতা নির্ণয়, গ্রহ উপগ্রহের দূরত্ব নির্ণয়, আলোক তরঙ্গ নির্ণয়ে ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করা হয়
প্রকোশলী ও স্থাপত্যবিদগণ স্থাপত্য সংক্রান্ত বিভিন্ন কাজ যেমন স্থাপনার ভর, ঢাল, ভূমির পৃষ্ঠ, আলোক রশ্মি কত কোনো স্থাপনায় আসবে ইত্যাদি বিষয় নির্ধারণে ত্রিকোণমিতির সাহায্য নেন ।

আদর্শ কোণ :

যে সকল কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত মূল নিয়মে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের অনুপাতসমূহের সংজ্ঞা হতে পাওয়া যায়, সে কোণগুলিকে আদর্শ কোণ বলা হয় ।

যেমন - 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ইত্যাদি আদর্শ কোণ ।

ত্রিকোণমিতিক কোণ

জ্যামিতিক কোণ :

সাধারণত দুইটি সরলরেখা এক বিন্দুতে মিলিত হলে ঐ বিন্দুর স্থলে কোণ (রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর অন্তঃস্থ ও বহিঃস্থ উভয় দিকে) উৎপন্ন হয়। এই কোণের মান 0° হতে 360° এর মধ্যে সীমাবদ্ধ।

অর্থাৎএই কোশের সর্বোচ্চ মান 360° এবং তা সর্বদাই ধনাত্মক কোণ হিসেবে গণ্য করা হয়।

ত্রিকোণমিতিক কোণ :

একটি সরল রেখার ঘূর্ণনের ফলে কোণ সৃষ্টি হয়। অর্থাৎ একটি সরলরেখা অপর একটি স্থির সরলরেখার প্রেক্ষিতে ঘুরে নির্দিষ্ট অবস্থানে পৌঁছাতে যে পরিমাণে আবর্তিত হয়, তা হলো সরলরেখা দ্বারা সৃষ্ট ত্রিকোণমিতিক কোণ ।

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি

1. 1^c = (180/π)°; 1°=(π/180)^c 1 সমকোণ = 100 গ্রেড (100g)

2. বৃহচাপ, s = r🛇, যেখানে 🛇 , রেডিয়ানে পরিমাপকৃত কোণ ।

3. বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল=Ꮎ / 360°x πr^2, যেখানে 🛇ডিগ্রিতে পরিমাপকৃত কোণ ।

= r^2Ꮎ/2, যেখানে 0 রেডিয়ানে পরিমাপকৃত কোণ ।

4. ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ .

i. SinᎾ এর ডোমেন = IR এবং রেঞ্জ = [-1, 1]
ii. CosᎾএর ডোমেন = IR এবং রেঞ্জ = [-1, 1]
iii.TanᎾএর ডোমেন = IR – {(2n+1)π/2: n ∈ Z} এবং রেঞ্জ = IR
iv. CotᎾএর ডোমেন =IR - {nπ :n ∈ Z} এবং রেঞ্জ = [R
v.SecᎾএর ডোমেন = IR - {(2n +1)π/2:n ∈ Z} এবং রেঞ্জ = IR - ( -1, 1)
vi. CosecᎾ এর ডোমেন = IR - {nπ : n ∈ Z} এবং রেঞ্জ = IR - ( - 1, 1)

5. সাইন, কোসাইন, সেকেন্ট এবং কোসেকেন্ট ফাংশনের প্রত্যেকের মৌলিক পর্যায় 2π এবং টেনজেন্ট ও কোটেনজেন্ট এর মৌলিক পর্যায় π.

ত্রিকোণমিতি এর জনক কে?

প্রথম ত্রিকোণমিতির ছক আপাতভাবে নিকাইয়ার হিপ্পারকাস (১৮০ – ১২৫ খ্রিঃপূঃ) সঙ্কলিত করেন, যাঁকে “ত্রিকোণমিতির জনক” বলা হয়ে থাকে। হিপ্পারকাসই প্রথম ভিন্ন ভিন্ন কোণের জন্য জ্যা এবং তার সংশ্লিষ্ট চাপের মান তৈরি করে ছকের রূপে সাজান।