সরলরেখা

অধ্যায়:তৃতীয় সরলরেখা (Straight Lines)

ভূমিকা (Introduction) :

  বিখ্যাত ফরাসি পণ্ডিত, দার্শনিক ও গণিতজ্ঞ রেনে দেকার্ত (Rene Descartes 1596-1650) জ্যামিতির উদ্ভাবক হিসেবে গণ্য।

 তিনিই প্রথমে জ্যামিতিতে বীজগণিতীয় সূত্রের প্রয়োগ করেন এবং ধনাত্মক সংখ্যার সাথে ঋণাত্মক সংখ্যার ব্যবহার শুরু করেন। এভাবেই স্থানাংক জ্যামিতির সূত্রপাত হয়। তাঁর প্রবর্তিত স্থানাংক প্ৰথা তাঁরই নামানুসারে কার্তেসীয় স্থানাংক নামে পরিচিত। বিশ্লেষণ জ্যামিতি মূলত কার্তেসীয় স্থানাংক নির্ভরশীল। আবার, গ্রিক পণ্ডিত ইউক্লিড আনুমানিক খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ অব্দে জ্যামিতির ইতস্ততঃ বিক্ষিপ্ত সূত্রগুলিকে বিধিবদ্ধভাবে সুবিন্যস্ত করে তাঁর বিখ্যাত গ্রন্থ 'Elements' রচনা করেন। ইহা তেরো খণ্ডে বিভক্ত। তবে বিশ্লেষণ জ্যামিতি ইউক্লিডীয় জ্যামিতি হতে পদ্ধতিগতভাবে সম্পূর্ণ ভিন্ন ।

সরলরেখা কাকে বলে?

সরলরেখা :যে রেখা সোজাসুজি চলে তাকে সরলরেখা বলে। 

 সরলরেখার ব্যবহার (বাস্তব জীবনে প্রয়োগ ):

• কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মাধ্যমে x ও y অক্ষ নিয়ে যে সরলরেখার চিত্র অঙ্কন করা হয় তা বাস্তব জীবনের অনেক কিছুই ব্যাখ্যা করতে পারে।
• দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কোন বক্ররেখার ঢাল নির্ণয়ে যে স্পর্শক অঙ্কন করা হয় তা একটি সরলরেখা
• সরলরেখার সমীকরণ ব্যবহার করে বিভিন্ন গাণিতিক সমাধান করা হয়।
• একাধিক স্থানের দূরত্ব নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সরলরৈখিক দূরত্বের ব্যবহার রয়েছে ।
• বিভিন্ন জ্যামিতিক তল যেমন ত্রিভুজ, চতর্ভুক্ত ইত্যাদি গঠনে সরলরেখা ব্যবহৃত হয় ।
• নিরাপত্তা এবং দ্রুতগামিতা নিশ্চিতে আধুনিক বুলেট ট্রেনের রাস্তার ডিজাইন সরলরৈখিক রাখার চেষ্টা করা হয় ।

সরলরেখার ঢাল এবং দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী রেখার ঢাল

সরলরেখার ঢাল (Slope) : 

কোন সরলরেখা X-অক্ষের যোগবোধক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণের ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্ট (Tangent) কে ঐ সরলরেখার ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণভাবে m-অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সরলরেখাটি যদি X-অক্ষের যোগবোধক দিকের সাথে Ө  কোণ উৎপন্ন করে তাহলে m = tanӨ হবে। একটি সরলরেখার ঢাল সকল বিন্দুতে সমান।

 প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি:

1. (x,y) কে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক এবং (r,Ө ) কে পোলার স্থানাঙ্ক বলে। 

2. x কে ভুজ, y কে কোটি r কে ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং Ө কে ভেক্টরিয়াল কোণ বলে ।

3. x - অক্ষের উপর যে কোন বিন্দুর কোটি (y-স্থানাঙ্ক) শূন্য (০) এবং y-অক্ষের উপর যে কোনো বিন্দুর ভূজ (x- স্থানাঙ্ক) শূন্য (0).

4. x অক্ষ হতে (x, y) বিন্দুর দূরত্ব =|y| একক এবং y অক্ষ হতে (x, y) বিন্দুর দূরত্ব = |x| একক।

5.  কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r, 0) হলে, x = r cos0, y = r sin0;

মডুলাস, r = √(x^2 + y^2) এবং আর্গুমেন্ট, Ø = tan^-1 (Y/X)

যেখানে, 0≤Ø<2 অথবা -π <Ø≤π

6. কার্তেসীয় স্থানাঙ্ককে পোলার স্থানাঙ্কে রূপান্তর : x > 0.y > 0 হলে 

i. প্রথম চতুর্ভাগের বিন্দু (x, y) এর জন্য,

Ø = tan^-1y/x   o≤Ø<2π                                    

ii. দ্বিতীয় চতুর্ভাগের বিন্দু (− x, y) এর জন্য,

Ø= tan^-1 Y/- x = π-tan^-1y/x ; o≤ Ø<2π

iii. তৃতীয় চতুর্ভাগের বিন্দু (-x,-y) এর জন্য,

Ø= tan^-1 -y/-x=π+tan^-1y/x;o≤Ø<2π

iv. চতুর্থ চতুর্ভাগের বিন্দু (x,-y) এর জন্য,

Ø = tan^-1-y/x=2π-tan^-1 y/x;o≤Ø<2π

7. মধ্যবর্তী দূরত্ব:

• i. দুইটি বিন্দু (x1,y1) ও (x2 y2) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব =√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 = √(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
• ii. মূলবিন্দু (0, 0) এবং (x, y) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √x^2+y^2
• iii. (x1, b) ও (x2, b) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব =|x1-x2|
• iv. (a, y1) ও (a, y2) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব -|y1-y2|

৪. দুইটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক (r1, Ø1) ও (r2 ,Ø2 ) হলে তাদেরমধ্যবর্তী দূরত্ব 

      =√r1^2+r2^2-2r1r2 cos (Ø1 - Ø2 )

9. (x1, y1) ও (x2+ y2) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশকে m1 : m2 অনুপাতে

অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( m1 x2 + m2x1, m1y2 + m2y1/m1-m2,m1-m2)

10. (x1, y1) ও (x2, y2)) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশকে m1 : m2. অনুপাতে

বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক  ( m1 x2 + m2x1, m1y2 + m2y1/m1-m2,m1-m2)

11. (x1,y1) ও (x2 , y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (x1+x2/2,y1+y2/2)

12. (x1,y1), (X2 , y2) ও (x3, y3) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক

 (x1 + x2 + x3 /3 , y1 + y2 +y3/3)

13. A(x1,y1), B(x2, y2) এবং C(x3, y3) বিন্দুত্রয়ের সমন্বয়ে গঠিত

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =1/2|^S ABC | বর্গ একক

যেখানে, ^S ABC=

| x1  y1  1 |       

| x2  y2  1 |  

| X3  Y3  1 |         

 অথবা     |     y1 y2 y3 y1 |

                | X1 X2 X3 x1 |

14. মূলবিন্দু (0, 0) এবং (x1,y1) (X2. y2) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =1/2|(x1y2 - x2y1) | বর্গ একক ।

15. A(x1,y1), B(x2,y2) ও C(x3,y3) বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে, যদি ^S ABC = 0 হয়

  অথবা, AB রেখার ঢাল AC রেখার ঢাল হয়।

16. A(x1,y1), B(x2+ y2), C(x3, y3) এবং D(x3, y3) বিন্দুগুলির সমন্বয়ে

                                                         |x1 x2 x3 x4 x1 |

গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল=|                                                   |বর্গ একক

                                                         |y1 y2 y3 y4 y1 |

17. AB রেখাটি CD রেখাংশকে E বিন্দুতে m1, m2 অনুপাতে বিভক্ত করলে

CE/DE= m1/m2= ^S ABC/^S ABC. অনুপাত যথাক্রমে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক

চিহ্নবিশিষ্ট হলে AB রেখাটি CD রেখাংশকে E বিন্দুতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করবে।

18. সরলরেখার ঢাল : কোন সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 0(o°≤ 🛇<180°; 0 = 9o°) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল m tan🛇. x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল শূন্য (0) এবং y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত।

• i. (x1, y1) ও (x2, y2) বিদায়ী রেখার চল =y1-y2/x1-x2 = কোটিদ্বয়ের অন্তর / ভুজদ্বয়ের অন্তর = y2-y1/x2-x1
• ii. ax + by + c = o সরলরেখার ঢাল = X এর সহগ  /  yএর সহগ = a/b

19. x-অক্ষের সমীকরণ, y = 0

20. y-অক্ষের সমীকরণ, x = 0

21. x-অক্ষের সমান্তরাল বা, y অক্ষের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, y = b 

22. y-অক্ষের সমান্তরাল বা, x অক্ষের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, x = a 

23. যে সরলরেখার ঢাল m এবং তা y-অক্ষ থেকে c- পরিমাণ অংশ কর্তন করে তার সমীকরণ হবে

    y = mx + c.

24. মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y = mx

25. m ঢালবিশিষ্ট কোনো সরলরেখা (x1 , Y1) বিন্দুগামী হলে তার সমীকরণ, y - y1 =  m (x - x1)