বৃত্ত (Circles)

অধ্যায়:চতুর্থ 

ভূমিকা (Introduction) : Circle শব্দটি গ্রিক শব্দ Kirkos থেকে এসেছে যার অর্থ বৃত্ত। এখানে Kir অর্থ বাঁকানো। সংরক্ষিত ইতিহাস থেকে জানা যায় যে, প্রাকৃতিকভাবে বৃত্তের বিষয়টি পরিচিতি লাভ করে। যেমন— চাঁদ, সূর্য ইত্যাদি। জ্যোতিষশাস্ত্র এবং ক্যালকুলাসের উন্নয়নের জন্য বৃত্তের আলোচনার গুরুত্ব অপরিসীম। Circle ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির একটি সাধারণ গঠন যার সকল বিন্দু উপস্থাপনা সমতলের উপর থাকবে। এখানে কেন্দ্র থেকে বিন্দুর দূরত্ব থাকবে। বৃত্তে যে কোন বিন্দু থেকে কেন্দ্রের দূরত্বকে radius বা ব্যাসার্ধ বলে। Circle হলো সাধারণ আবদ্ধ বক্ররেখা যা ভূমিকে দুইটি অঞ্চলে ভাগ করে। তাহলো 

• Interior এবং
• Exterior

নিত্য ব্যবহার্য circle শব্দটি কোন figure এর সীমানা বোঝাতে ব্যবহার করা হয়।

বৃত্তের জনক কে ?

বৃত্ত এর ব্যবহার (বাস্তব জীবনে প্রয়োগ ):

‘বৃত্ত' শব্দটি একটি গাণিতিক পরিভাষা হলেও আমাদের দৈনন্দিন জীবনে বৃত্তের বহুবিধ ব্যবহার রয়েছে।

• যানবাহনের চাকা, রিং ইত্যাদি প্রত্যেকটিই বৃত্তাকার ।
• উপবৃত্ত একটি বিশেষ ধরনের বৃত্তের পরিধি,ব্যাস,ব্যাসার্ধ ব্যবহার করে- গ্রহ ও উপগ্রহের পরিধি, ব্যাসার্ধ আয়তন ইত্যাদি আমরা সহজেই জানতে পারি ।
• বিনোদন কেন্দ্রগুলোতে ব্যবহৃত বিভিন্ন প্রকার রাইডগুলো যেমন নাগরদোলা ইত্যাদি নিয়ম মেনেই করা হয়।

ব্যাসার্ধ :

সংজ্ঞা : একটি সমতলে অবস্থিত কোন বিন্দু যদি এমনভাবে গতিশীল হয় যে, ঐ সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে ইহার দূরত্ব সর্বদা সমান (ধ্রুবক) থাকে তবে বিন্দুটির সঞ্চার পথকে বৃত্ত বলে । নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তটির কেন্দ্র এবং ধ্রুবক দূরত্বকে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ বলে । 

বৃত্ত:

সংজ্ঞা  : একটি সমতলে অবস্থিত কোন নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বৃত্ত বলে ।

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি

1. মূলবিন্দু (0, 0) তে কেন্দ্র এবং a ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, x^2+y^2=a^2;

বৃত্তের সমীকরণ

2. কেন্দ্র (h, k) এবং a ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2.

3. (h, k) কেন্দ্র এবং (a, B) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, (x – h)^2 + (y - k) 2 = (a - h)^2 + (B - k )^2

4. (h, k) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করলে ব্যাসার্ধ  = | কেন্দ্রের কোটি | = | k | এবং স্পর্শবিন্দু (h, 0 )

5. (h, k) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করলে ব্যাসার্ধ = | কেন্দ্রের ভুজ | = | h | এবং স্পর্শবিন্দু (0, k)

6. (h, k) কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে,| বৃত্তের কেন্দ্রের ভুজ | = | বৃত্তের কেন্দ্রের কোটি | = বৃত্তের ব্যাসার্ধ অর্থাৎ r = | h = | k |

বৃত্তের সমীকরণ সূত্র/বৃত্তের সমীকরণের সূত্র:

7. বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ : x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

এখানে কেন্দ্র (−g, −f), ব্যাসার্ধ = √g^2 + f^2 - c.

• i. বৃত্ত দ্বারা x-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশের পরিমাণ = 2√g^2 - c
• ii. বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশের পরিমাণ = 2√F^2 - c 
• iii. যদি বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে g^2 = c এবং x-অক্ষে স্পর্শবিন্দু (-g, 0).
• iv. যদি বৃত্তটি y অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে f^2 = c এবং y-অক্ষে স্পর্শবিন্দু (0, -f).
• v. যদি বৃত্তটি মূল বিন্দু দিয়ে গমন করে, তাহলে c = 0.
• vi. যদি বৃত্তটি মূল বিন্দু দিয়ে যায় এবং x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে g^2 = c = 0.
• vii. যদি বৃত্তটি মূল বিন্দু দিয়ে যায় এবং y অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে f^2 = c = 0.
• viii. যদি বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে g^2 = f^2 = c.
• ix. কেন্দ্র x-অক্ষের উপর অবস্থিত হলে f = 0.
• x. কেন্দ্র y-অক্ষের উপর অবস্থিত হলে g = 0.

8. (x1,y1) এবং (x2, y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ: 

(x - x1) (x - x2 ) + (y - y1) (y – y2) = 0 

9. x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্ত সাপেক্ষে কোনো বিন্দু (x1,y1) এর অবস্থান নির্ণয় :

• i. (x1,y1) বিন্দুটি বৃত্তের ভেতরে অবস্থান করবে  যদি x1^2 + y1^2 + 2gx1 + 2fy1 + c < 0 হয় 
• ii. (x1,y1) বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থান করবে  যদি x1^2 + y1^2 + 2gx1 + 2fy1 + c > 0 হয় .
• iii. (x1,y1) বিন্দুটি বৃত্তের উপরে অবস্থান করবে  যদি x1^2 + y1^2 + 2gx1 + 2fy1 + c = 0 হয়.

10. x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্ত এবং ax + by + c1 = 0 রেখার ছেদ বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, 

বৃত্ত + k (রেখা) = 0.

 x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c +k(ax + by + c1) = 0

11. S1 = x^2 + y^2 + 2g1x + 2f1y + c1 = 0 এবং S2 = x^2 + y^2 + 2g2x + 2f2y + c2 = 0 বৃত্তের ছেদ বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ : s1 + ks2 = 0. S1 ও S2 

অর্থাৎ একটি বৃত্ত 3 + k (অপর বৃত্ত) = 0.

12.( A.R. খলিফা সূত্র ) : দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু (x, y)) এবং (x1 y1) দিয়ে যায়, এরূপ বৃত্তের সমীকরণ

 (x - x1 ) (x - x2) + (y - y1) (y – y2)+ K {(x - x1) (y1 - Y2) - (y - y1) (X1 - X2)} = o

13. দুটি বৃত্ত বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের সমান অর্থাৎ AB = a1+ a2.

14. দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের বিয়োগফলের সমান অর্থাৎ AB = a1 ~ a2.

15. বৃত্তের কেন্দ্র (r1, 01) এবং ব্যাসার্ধ a হলে, বৃত্তের পোলার সমীকরণ -r^2 -2rr1 cos(0-01) + r^2 1 = a^2.

16. পোলার আকৃতিতে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ r^2-2r (g cos0+f sin0) + c= 0. কেন্দ্ৰ √g^2 + f^2, tan^-1 f/g এবং ব্যাসার্ধ, √g^2 + f^2-c

17. স্পর্শকের শর্ত : বৃত্তের কেন্দ্র হতে স্পর্শকের উপর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান ।

18. y = mx + c সরলরেখার x^2 + y^2 = a^2 বৃত্তে স্পর্শক হওয়ার শর্ত c=±a√1+m^2.

19. ঢাল m-এর যে কোনো মানের জন্যে x^2 + y^2 = a^2 বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ ys = mx ± a √1+m^2 এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক(-am / √1+m^2,a/ √1+m^2).

20. x^2 + y^2 = a^2 বৃত্তের উপরিস্থিত (x1,y1) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ : xx1 + yy1 = a^2.

21. x^2 + y + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তের উপরিস্থিত (x1 , y1) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ :

xx1 + yy1 +g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0.

22. S1 = x^2 + y^2 + 2g1x + 2f1y + c1 = 0 এবং S2 = x^2+y^2+2g2x + 2f2 y + c2 = 0 বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ : S1 - S2 = 0

2 (g1 - g2)x + 2 (f1 - f2) y + c1 - c2 = 0

23. বহিঃস্থ (x1,y1) বিন্দু হতে x^2 + y^2 = a^2 বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √x1^2 + y1^2-a^2

24. বহিঃস্থ (x1,y1) বিন্দু হতে x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তেঅঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 

= √x1^2 + y1^2 + 2gx1 + 2fy1 + c

25. x^2 + y^2 = a^2  বৃত্তের উপরিস্থিত (x1, y1) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ x1y - y1x = 0 (স্পর্শকের স্পর্শ বিন্দুতে অঙ্কিত লম্বরেখাকে অভিলম্ব বলে)

26. x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তের উপর (x1,y1) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ : (x + g)y - (y1+ f)x + fx1 - gy1 = 0.

27. স্পর্শ জ্যা : একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে বৃত্তটিতে দুইটি স্পর্শক অঙ্কিত হলে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশটিকে ঐ স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা বলা হয়।

 বহিঃস্থ (x1,y1) বিন্দু হতে x^2 + y^2+ 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যারে সমীকরণ : xx1 + yy1 + g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0.