অনুক্রম ও ধারা
Sequence and series
Math New Shyllabus-2024 Hand Note/ Goudie
নবম শ্রেণীর গণিত-2024
2024 সালের নতুন হ্যান্ড নোট গণিত
জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড কর্তৃক জাতীয় শিক্ষাক্রম- ২০২২ অনুযায়ী প্রণীত এবং ২০২৪ শিক্ষাবর্ষ থেকে নবম শ্রেণির জন্য নির্ধারিত পাঠ্যপুস্তক গণিত
অধ্যায় :2
অনুক্রম ও ধারা
এই অভিজ্ঞতায় শিখতে পারবে----
- অনুক্রম
- সমান্তর অনুক্রম
- গুণোত্তর অনুক্রম
- ফিবোনাচ্চি অনুক্রম
- ধারা
- সমান্তর ধারা
- গুণোত্তর ধারা
অনুক্রম ও ধারা
কতকগুলো রাশিকে একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে সম্পর্কিত তা জানা যায়।এমনভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম (Sequence) বলা হয়।
1. 2nএর অনুক্রম নির্ণয় কর।
ধরি,n=1,2,3…………….
2n=2.1=2
2n=2.2=4
2n=2.3=6
---------------
---------------
অনুক্রম = 2+4+6+-------Ans.
অনুক্রম ও ধারা
তোমার প্রাত্যহিক জীবনে ‘ক্রম’ শব্দটি বহুল পরিচিতি একটি শব্দ, তাই না?প্রতিদিন কত জিনিসই না তোমাকে ক্রমানুসারে সাজাতে হয়। তোমার পড়ার টেবিল বা পাশের বুক সেলফটির কথা ভাবো। আকারে সবচেয়ে বড় বইগুলো নিশ্চয়ই সবার নিচে রেখেছ। তারপর ক্রমানুসারে ছোটগুলো উপরের দিকে তাক করে রাখা আছে।তোমার স্কুলের ক্লাস শুরুর আগে তোমাদেরকে সমাবেশে অংশগ্রহণ করতে হয়।খেয়াল করেছ কি তোমাদের প্রতিটি কলামে দাঁড়ানোর ক্ষেত্রে একটি নিয়ম মানতে হয়।
তোমাদেরকে তোমাদের উচ্চতার ক্রম অনুসারে দাঁড়াতে হয়। সমাবেশ শেষে ক্লাসে যাওয়ার পরই শ্রেণিশিক্ষক তোমাদের উপস্থিতি নেন। তোমাদের রোল নম্বর কীভাবে সাজানো? নিশ্চয়ই ক্রমানুসারে, তাই না? এত গেল তোমার স্কুলের কথা, তুমি বাজারে গিয়ে নিশ্চয়ই লক্ষ করেছ,
কোনো কোনো দোকানি দোকানের জিনিসপত্র নানান রকমে সাজিয়ে রাখেন। যেমন: ফলের দোকানদার আপেল, কমলা সুষম পিরামিডের মতো সাজিয়ে রাখেন।হাঁড়ি-পাতিল, থালা-বাসন, বালতি-মগ বিক্রেতারাও তাদের দ্রব্যাদি বড় থেকে উপরের দিকে ক্রমানুসারে ছোটো আকারে সাজিয়ে রাখেন।
খেলার মাঠের গ্যালারির আসন ব্যবস্থার কথা চিন্তা করো। এমনকি সিনেমা হলে দর্শকদের বসার ক্রম? নিচের ছবি দুটি নিবিড়ভাবে পর্যবেক্ষণ করো।
আসন ব্যবস্থা ও মাটির পাতিলগুলোর মধ্যে কোনো বৈশিষ্ট্য আছে কী? সহপাঠীর সাথে আলাপ-আলোচনা করো। তোমরা কী কী বৈশিষ্ট্য খুঁজে পেলে তা নিচের খালি বক্সে লেখো ।
আমরা আমাদের চারপাশে নানাবিধ ক্ষেত্রে বিভিন্ন ধরনের ক্রম দেখে থাকি। আর এই ক্রম থেকেই মূলত অনুক্রমের ধারণাটি এসেছে। তাছাড়া তোমরা ইতোমধ্যেই সংখ্যা পদ্ধতি সম্পর্কে অনেক কিছুই জেনেছ। যেমন: স্বাভাবিক সংখ্যা 1, 2, 3, 4, ... এর কথা ভাবতে পার। সংখ্যাগুলো ক্রমানুসারে সাজানো ছাড়াও আরও বিশেষ বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে। ভেবে দেখো তো আর কী কী বৈশিষ্ট্য আছে? বৈশিষ্ট্যগুলো নিচের খালি বক্সে ঝটপট লিখে ফেলো :
দুইটি মজার খেলা
১. হাত খরচ প্রাপ্তির খেলা
ক) প্রতিদিন 10 টাকা
খ) মাসের প্রথম দিন 3 টাকা, দ্বিতীয় দিন 3.50 টাকা, তৃতীয় দিন 4 টাকা, এভাবে প্রতিদিন 50 পয়সা করে বৃদ্ধি পাবে
গ) মাসের প্রথম দিন 1 টাকা, দ্বিতীয় দিন 2 টাকা, তৃতীয় দিন 4 টাকা, এভাবে প্রতিদিন আগের দিনের দ্বিগুণ করে বৃদ্ধি পাবে এই তিনটি বিকল্পের মধ্য থেকে তুমি কোনটি বেছে নিবে এবং কেন নিবে তা যুক্তি ও ব্যাখ্যাসহ তোমাকে উপস্থাপন করতে হবে।
২. মৌলিক সংখ্যার খেলা
কমপক্ষে তিনটি মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে। শর্ত হলো: পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য সাধারণ বা একই হতে হবে এবং শর্ত মেনে খালি ঘরগুলো পূরণ করতে হবে। যদি শর্ত মেনে তিনটি সংখ্যা না পাওয়া যায়, তবে তার কারণ ব্যাখ্যা করো।
তোমার হাত খরচ প্রাপ্তির মজার খেলার মধ্যে-
ক)-এ মাসের প্রতিদিন যে হাত খরচ পেয়েছ তা নিম্নরূপ
গুণোত্তর ধারা
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান।এটি একটি গুণোত্তর সসীম ধারা।ভৌত ও জীব বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে, ব্যাংক ও বীমা ইত্যাদি প্রতিষ্ঠানে এবং বিভিন্ন প্রকার প্রযুক্তি বিদ্যায় গুণোত্তর ধারার ব্যাপক প্রয়োগ আছে।গুণোত্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট না থাকলে একে অনন্ত গুণোত্তর ধারা বলে।
প্রথম পদ = a = ar1-1
দ্বিতীয় পদ = ar = ar2-1
তৃতীয় পদ = ar2 = ar3-1
চতুর্থ পদ = ar3 = ar4-1
-------------------------------
-------------------------------
∴ n তম পদ = arn-1
👉S = a + a + a +-----+ n পদ পর্যন্ত = = an
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়
মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি Sn
অর্থাৎ, S
=1+ 2+ 3 +------+(n-1) +n
ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে পাওয়া যায়,
Sn= 1+
2+ 3+-- +(n-
2)+ (n- 1) +n ----- (i)
এবং Sn= n+(n- 1)+(n-2)+-- +3+2+ -- --- -(ii)
যোগ করে, 2 Sn= (n +1) + (n +1) + (n +1) +-----+ (n +1) [ n সংখ্যক পদ ]
বা, 2Sn=n(n +1)
∴ Sn =
(Proved)
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়
মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি Sn
অর্থাৎ, Sn= 13+ 23
+33+-------+n3
আমরা জানি, (r +1)2
- (r -1)2
= 4r
⇒(r +1)2r2
–r2(r -1)2 =
4r.r2[ উভয়পক্ষকে r2 দ্বারা গুণ করে ]
⇒(r +1)2r2
–r2(r -1)2 =
4r3
উপরের অভেদটিতে, r =1, 2, 3,-----, n বসিয়ে পাই,
22 .12
–12.02 =
4.13
32 .22
–22.12 =
4.23
42 .32
–32.22 =
4.33
-------------------------------
-------------------------------
(n+1)2n2
–n2(n -1)2 =
4n3
-------------------------------
যোগ করে, (n +1)2.n2 -12.02 = 4(13 + 23+33 +-----+ n3 )
⇒ (n +1)2.n2 -12.02
= 4 Sn
⇒ (n +1)2.n2 = 4 Sn
⇒4Sn=(n +1)2.n2
⇒ Sn=
⇒ Sn=
(Proved)
সৃজনশীল প্রশ্ন 1. 5 + x + y + 135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত।
(ক) ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর। ২
(খ) x এবং yএর মান নির্ণয় কর। ৪
(গ) ধারাটির প্রথম কয়টি পদের সমষ্টি 605? ৪
সৃজনশীল প্রশ্ন 2. 3+x+y+z+243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত।
(ক) ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর। ২
(খ) x, y এবং z এর মান নির্ণয় কর। ৪
(গ) ধারাটি নির্ণয় করে , প্রথম 15 পদের সমষ্টি কত? ৪
সৃজনশীল প্রশ্ন 3. n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441.
(ক) ঐ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? ২
(খ) ঐ সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি কত? ৪
(গ) 3 + 9 + 27 +------ ধারাটির প্রথম 10 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। ৪
সৃজনশীল প্রশ্ন 4. কোন ধারার nতম পদ 2n-4
ক. ধারাটি নির্ণয় কর।
খ. ধারাটির 10তম পদ এবং প্রথম 20টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
গ. প্রাপ্ত ধারাটির প্রথম পদকে প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে একটি নতুন ধারা তৈরি কর এবং সূত্র প্রয়োগ করে ধারাটির প্রথম 8 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন 5. log 3 + log 9 + log 27+------
(ক) ইহা কোন ধরনের ধারা? ২
(খ) ধারার 5 ম ও 10ম পদ নির্ণয় কর। ৪
(গ) ধারার প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত? ৪
অর্ডিনেট আইটির নীতিমালা মেনে কমেন্ট করুন। প্রতিটি কমেন্ট রিভিউ করা হয়।
comment url